By Henri Lombardi, Claude Quitté

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Cela signifie que l’algèbre linéaire de base est explicite sur les corps discrets. Un corps discret A est un ensemble discret si, et seulement si, le test ✭✭ 1 =A 0 ? ✮✮ est explicite5 . Il arrive cependant que l’on sache qu’un anneau construit au cours d’un algorithme est un corps discret sans savoir s’il est trivial ou non. Si A est un corps discret non trivial, l’affirmation ✭✭ M est un espace vectoriel libre de dimension finie ✮✮ est plus précise que l’affirmation ✭✭ M est un espace vectoriel de type fini ✮✮, car dans le dernier cas, savoir extraire une base du système générateur revient à disposer d’un test d’indépendance linéaire dans M .

Sn ne sont pas comaximaux. Inversement, supposons que pour tout idéal maximal m l’un des Si est contenu dans A \ m et soient s1 ∈ S1 , . . , sn ∈ Sn alors l’idéal s1 , . . , sn n’est contenu dans aucun idéal maximal, donc il contient 1. Nous notons Am×p ou Mm,p (A) le A-module des matrices à m lignes et p colonnes à coefficients dans A, et Mn (A) désigne Mn,n (A). Le groupe formé par les matrices inversibles est noté GLn (A), le sous-groupe des matrices de déterminant 1 est noté SLn (A).

Un ensemble E est bien défini lorsque l’on a indiqué comment construire ses éléments et lorsque l’on a construit une relation d’équivalence qui définit l’égalité de deux éléments dans l’ensemble. On note x = y ou si nécessaire x =E y l’égalité dans E. L’ensemble E est appelé discret lorsque l’axiome suivant est vérifié ∀x, y ∈ E x = y ou ¬(x = y) Classiquement, tous les ensembles sont discrets, car le ✭✭ ou ✮✮ présent dans la définition est compris de manière ✭✭ abstraite ✮✮. Constructivement, le ✭✭ ou ✮✮ présent dans la définition est compris selon la signification du langage usuel : une des deux alternatives au moins doit avoir lieu de manière certaine.

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